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La boîte Heijunka est un outil dont la finalité est de mixer et niveler les ordres de fabrication de plusieurs produits, caractérisés chacun par une forte variabilité des commandes, donc peu propices à la mise en place d’un tableau kanban.

Pour ce faire, on moyenne la production par produit sur une période suffisamment longue pour gommer les pics et les creux, lissant l’objectif de production sur cette période.

Il s’agit alors de niveler la production en références « produit » et en volumes sur la période couverte par la boîte Heijunka (équipe, journée, semaine,...) afin :

·       De réduire l’en-cours (donc les cycles), en diminuant la taille des campagnes de fabrication de chaque référence, et,

·       De transmettre aux postes amont une demande régulière en quantité, permettant de réguler les variations de ressources à mettre en œuvre (correspondant à une variation entre le temps requis et le temps requis + quelques heures supplémentaires sans avoir à « embaucher » des personnels de plus).

Elle est particulièrement adaptée en fin de flux, juste avant l’expédition, par exemple sur une opération d’assemblage final (ou l’opération la plus en amont d’un flux continu avant l’expédition).

La boîte Heijunka est souvent associée à un séquenceur permettant de présenter au poste de travail les OF sortis de la boîte Heijunka suivant  une logique FIFO :

On peut considérer sa mise en œuvre comme un flux tiré par la demande réelle, si les OF pris en compte pour remplir la boîte correspondent à des commandes fermes (ce qui implique que le LT entre l’opération faisant l’objet de la boîte et l’expédition est inférieur au délai de commande).

Une boîte Heijunka est organisée en colonnes représentant une même période de temps (appelée le pitch) et en lignes par famille de produits.

Les temps de cycle de fabrication des produits peuvent être différents ainsi que les temps de changement de série : ainsi, à un pitch peut correspondre un nombre de produits fabriqués différent en fonction de la famille considérée (donc un nombre de cartes [1 carte = 1 container de x pièces] différent dans chaque alvéole de la boîte).

L’agencement des cartes sur la période couverte par la boîte Heijunka (journée, semaine) est revue à chaque début de période en fonction des commandes fermes prévues pour la période suivante : en ce sens, la boîte Heijunka permet d’adapter le profil de production même en cas de forte variabilité de la demande.

Illustrons ceci par deux exemples

EXEMPLE 1 : production avec changement de série

Soit un poste de production ouvert 8h par jour qui fabrique 3 produits A (TC = 1 min), B (TC = 2 min) et C (TC = 5 min). Le temps de changement de fabrication est de 10 minutes. La demande journalière moyenne est la suivante :

·       A = 200           soit un temps de production avec C/O de 210 minutes (près de 4h)

·       B = 50             soit un temps de production avec C/O de 110 minutes (près de 2h)

·       C = 20             soit un temps de production avec C/O de 110 minutes (près de 2h)

Cas 1 : sans nivellement de la production

Les en-cours sont ponctuellement importants et chaque produit n’est délivré qu’une fois par jour.

Cas 2 : avec nivellement de la production

Le calcul du pitch nécessite de comparer le temps nécessaire de production  sur la journée (200x1+50x2+20x5=400 minutes) avec le temps requis (8h x 60 = 480min).

La différence correspond au temps que l’on pourra consacrer aux changements de série (80 min) que l’on compare à un temps de changement de série (10min) : 80/10 = 8 changements de série possibles par journée de production.

Il faudra donc produire chaque type de pièce chaque 1/8 jour, donc toutes les heures. C'est le picth de la boîte Heijunka.

Pitch = Période P x Temps de CO / (Temps requis sur la période P – temps total de production sur la période P)

Avec 1 pitch de 1 heure, le temps dévolu à la production est de 50 minutes (60 minutes – 10 minutes de C/O), soit :

- A = 50/1 = 50 produits soit 200/50  = 4 picths/jour

- B = 50/2 = 25 produits soit 50/25 = 2 pitchs/jour

- C = 50/5 = 10 produits soit 20/10 = 2 pitchs par jour

Les en-cours sont ainsi limités à 50 unités et chaque produit est délivré plusieurs fois par jour (au minimum 2 fois/jour).

On remarque que comme pour le « kanban », plus les temps de changement de série sont faibles, plus les tailles de lot sont réduites et plus le pitch correspond à un laps de temps réduit.

Ainsi, dans cet exemple, si le temps de changement de série passe à 5 minutes, on pourra réduire le pitch à 30 minutes et niveler 2 fois plus la production.

EXEMPLE 2 : nivellement de ressources amont grâce à une boîte Heijunka

Soit un poste d’assemblage de 3 produits A,B et C différents faisant appel à la fabrication d’ébauches A’, B’ et C’ réalisées par des postes différents avec les temps de cycles suivants :

·       TC1 (ébauches A’) = 10 minutes

·       TC2 (ébauches B’) = 20 minutes

·       TC3 (ébauches C’) = 40 minutes

L’usine est ouverte 16 jours par mois, 10h par jour avec 2x15 minutes de pause (soit 570 minutes/jour). La demande moyenne mensuelle de produits A, B et C est la suivante :

·       A = 896 soit 56 unités/jour

·       B = 464 soit 29 unités/jour        TOTAL = 114 unités/jour donc : Takt Time (TT) = 570/114= 5 minutes

·       C = 464 soit 29 unités/jour

Conformément aux règles d’équilibrage du Lean, le poste d’assemblage est ajusté pour avoir un temps de cycle de 5 minutes afin de répondre à la demande client.

Cas 1 : sans nivellement de la production

Si chaque jour, tous les produits A sont réalisés puis tous les B et enfin tous les C, cela conduit à des vagues de travail en amont, nécessitant des pics de ressources :

·       Poste 1 (ébauches A’) = TC/TT = 2 personnes employées pendant 4h40 puis inoccupées

·       Poste 2 (ébauches B’) = TC/TT = 4 personnes employées pendant 2h25 puis inoccupées

·       Poste 3 (ébauches C’) = TC/TT = 8 personnes employées pendant 2h25 puis inoccupées

Soit au total 14 personnes partiellement occupées au poste amont.

Cas 2 : avec nivellement de la production

Le pitch est ici impulsé par la demande client soit 5 minutes

(114 produits à assembler par jour avec un temps de cycle de 5min sans C/O = temps requis du poste d’assemblage).

En revanche, le prélèvement au niveau de chaque poste peut être ajusté afin de niveler la production sur toute la journée :

·       Poste 1 (ébauches A’) = 570/56 ≈ 1 pièce toutes les 10 minutes (1 picth sur 2)

·       Poste 2 (ébauches B’) = 570/29  ≈ 1 pièce toutes les 20 minutes (1 picth sur 4)

·       Poste 3 (ébauches C’) = 570/29 = ≈ 1 pièce toutes les 20 minutes (1 picth sur 4)

Ce qui conduit à la boîte Heijunka suivante :

Compte tenu d’un prélèvement d’ébauches plus régulier à chaque poste, les ressources nécessaires sont :

·       Poste 1 (ébauches A’) = TC/10 = 1 personne employée à plein temps

·       Poste 2 (ébauches B’) = TC/20 = 1 personnes employée à plein temps

·       Poste 3 (ébauches C’) = TC/20 = 2 personnes employées à plein temps

Soit au total 4 personnes employées à plein temps au poste amont (donc 3,5 fois moins que sans le nivellement).

La boîte Heijunka permet ainsi d’éviter le gaspillage de ressources.

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DDMRP : une méthode d’ordonnancement de la production tirée par la demande

Introduction

Le DDMRP, Demand Driven MRP ou « MRP piloté par la demande », est un outil d’ordonnancement  de la production, qui a été détaillé en 2011 dans le livre « Orilcky’s Material Requirement Planning » écrit par Carol PTAK et Chad SMITH.

Le DDMRP a pour particularité de réhabiliter la notion de stocks, comme moyen permettant de dissocier la production de la demande.

Le DDMRP acte des défauts inhérents au modèle MRP : en effet, celui-ci a tendance à générer  de nombreux stocks inutiles et donc des coûts importants. Cela résulte du fait que le MRP s’appuie sur une prévision plus ou moins juste de la demande (on estime que les meilleures entreprises atteignent une qualité de prévision de 75 à 80% par article par mois – autrement dit, qu’elles se trompent de 20 à 25% !) pour produire en « flux poussé » (accumulation de stock). Le MRP a également du mal à tenir compte des aléas de production, ainsi que de la variabilité des processus et de la demande.

Ainsi, le modèle MRP conduit à une répartition générale des articles dans l’usine oscillant entre « trop peu » et « trop », en fonction des variations de la demande. L’effet « coup de fouet » est un parfait exemple de cette oscillation, d’autant plus importante que l’on remonte vers l’amont de la Supply Chain, en réaction à une simple variation de la demande.

C’est en réaction à ces défauts que les démarches Lean, 6 sigma et théorie des contraintes se sont développées, avec pour point commun « une vision flux » de la production, suggérant d’abandonner le MRP pour l’ordonnancement quotidien de la production.

Le DDMRP combine ainsi ces trois méthodologies et les réconcilie avec le modèle MRP.

1) Le principe DDMRP

Le DDMRP vise à comprimer les cycles pour répondre à la demande client tout en absorbant les variabilités (aléas, variations de la demande) par la mise en place de buffers. Il a pour conséquence de tirer le flux de production de l’aval vers l’amont.

C’est un processus en 5 étapes.

1-Positionner les buffers

2-Dimensionner les buffers

3-Ajuster dynamiquement les buffers

4-Planifier les réapprovisionnements à partir de la demande réelle

5-Exécuter les ordres avec l'appui d’alertes paramétrées

Le MRP n’est cependant pas abandonné : en effet le processus, PIC/PDP reste valable pour prévoir le niveau des ressources. L’ordonnancement de la production suivant le DDMRP ne concerne que les articles aux points de commande stratégiques de la Supply Chain, les autres restants déterminés par la méthode classique MRP

Les approches Lean ou 6 sigma, ne sont pas non plus remises en cause par le DDMRP et restent totalement nécessaires à l’amélioration continue car, comme le montrent les règles de dimensionnement des buffers, ces derniers sont directement liés au délai de réapprovisionnement de fabrication et à la variabilité des processus. Donc plus on tend à les réduire, plus les buffers, et donc le stock moyen, sera faible.

2) Les 5 étapes DDMRP

2.1- Positionner les buffers

On commence par identifier les « points de commande » stratégiques qui ne permettent pas d’atteindre le cycle demandé par le marché et y positionner des buffers (ce sont finalement des stocks « virtuels ») qui vont raccourcir le cycle apparent et absorber la variabilité.

Ces buffers sont positionnés sur l’ensemble de la chaîne de production, de l’entrée matière à la livraison client. On les symbolise par le sigle suivant :

L’objectif est de découpler les étapes de production (ou boucles découplées) pour fiabiliser le flux.

Le « cycle découplé », pour chaque boucle découplée, correspond à la plus longue chaîne non protégée de la gamme permettant de satisfaire les besoins du marché (une fois les buffers mis en place). Il est caractérisé par un Lead Time correspondant au temps de traversée le plus long dans la nomenclature entre 2 points de découplage : on l’appelle l’ASR Lead Time (pour actively synchronized replenishment LT) ou DRAS en français.

Exemple : voici les buffers à positionner dans la nomenclature de production suivante avec une contrainte de délai de livraison client de 10 jours

Voici les principaux critères pour sélectionner les points de commandes stratégiques où il est nécessaire de placer un buffer :

• Le délai de livraison exigé par le client ou imposé par le marché,
• La variabilité de la demande ou de la Supply Chain,
• La flexibilité des stocks,
• La structure de la Supply Chain (risque fournisseur par exemple),
• La protection des « goulots » (voir gestion de production selon la méthode DBR).

2.2- Dimensionner les buffers

Les buffers sont calculés en fonction de la consommation moyenne journalière (CMJ ou ADU = average daily usage - la CMJ est généralement calculé sur la base d'un historique des consommations sur un horizon de 6 mois), du temps cycle découplé de la boucle en amont du buffer (ASR LT) et de la variabilité (sur les délais ainsi que sur la demande).

Ils sont constitués de 3 zones. Le buffer total correspond à la somme de ces 3 zones. Nous retrouvons en commençant par la base du buffer :

• La zone ROUGE

Elle correspond au stock de sécurité et est dimensionnée comme suit :

Lead Time de la boucle (cycle découplé) x demande/consommation moyenne x facteur Lead Time

x (1 + facteur de variabilité volume)

Au sein de la zone rouge, on distingue une zone rouge de base qui correspond à la première partie de la formule (variabilité délai) sans multiplication par « (1 + facteur de variabilité volume) ». Cette seconde partie est appelée la zone rouge de sécurité : elle correspond à la sécurité à apporter pour cause de variabilité de la demande (risque externe).

>  On retrouve dans cette formule la loi de Little : la zone rouge de base correspond ainsi à une fraction (% = facteur de Lead Time) de la quantité d’en-cours nécessaire au sein de la boucle pour tenir le débit journalier.

>  Facteur Lead Time (ou facteur de délai de 0,2 à 0,7) : plus le cycle est court, plus le facteur de cycle Lead Time doit être grand : en effet, si le cycle découplé est très court, il faut beaucoup plus le protéger des petits aléas susceptibles d’avoir un impact relativement important sur le délai de commande.

>  Facteur de variabilité en volume (de 0,2 à 0,75) : la variabilité en volume est relative à l’environnement de chaque production. Afin de l’appréhender pour chaque article relativement aux autres articles, il suffit de classer (diagramme de Pareto) tous les articles en fonction de leur CoV (coefficient de variabilité), i.e. le ratio écart-type de consommation / CMJ. Plus le CoV est élevé, plus le facteur de variabilité doit être important.  

>  Attention : le Lead Time de la boucle correspond bien au temps de traversée de la boucle (et non pas au temps de cycle du poste amont … même si dans certains cas, cela peut correspondre à la même valeur !).

.

• La zone JAUNE

Cette zone correspond à la quantité minimum prévue par la loi de Little pour tenir le temps de cycle en consommation « habituelle » augmentée de la marge pour variabilité et des aléas de délais (la zone rouge)

Elle est calculée comme suit :

Lead Time de la boucle (cycle découplé) x demande/consommation moyenne

• la zone VERTE

Il s’agit de la zone de production « normale » puisque dans cette zone on est au dessus de la quantité fixée par la loi de Little augmentée de la marge pour variabilité et aléas de délais (zone rouge + jaune).

On fixe une limite supérieure à la zone verte afin de garder une maîtrise du niveau de stock (le juste nécessaire).

Elle correspond au maximum entre les 2 valeurs suivantes :

·       Lead Time de la boucle (cycle découplé) x Facteur Lead Time x demande/consommation moyenne

·       Quantité minimale d’un ordre (MoQ / taille de lot)

Nota : Si la fréquence de passation de commande auprès du fournisseur est imposée (ex : commande 1 fois par semaine) et que celle-ci conduit à un en-cours théorique (pour notre exemple : 7 jours x CMJ) supérieur à la quantité calculée précédemment, c’est celle-ci qui sera retenue pour la zone verte.  

Le SMED (single minute exchange of die), que l’on peut traduire par « changement de série en moins de 10 minutes » (donc en un temps en minutes correspondant à un seul digit) est une méthode de réduction des temps de changement de fabrication développée par S. Shingo dès les origines du TPS (Toyota Production System).

Pour les entreprises qui n’ont pas connu de révolution Lean, les tailles de lot correspondent aux quantités économiques calculées grâce à la formule de Wilson (issue du Fordisme). Ces tailles de lots importantes  conduisent à une surproduction et aux nombreux gaspillages que cela entraîne :

·       des stocks importants

o   immobilisant de la trésorerie et augmentant le besoin en fond de roulement (ROI en baisse),

o   engendrant des coûts (surfaces de stockage, inventaires, transport et déplacements inutiles, …),

o   rendant plus difficile leur gestion (plus il y a de pièces moins on trouve celle dont on a réellement besoin),

o   augmentant mécaniquement le temps de traversée de l’usine  en application de la loi de Little (WIP = LT x débit),

·       des problèmes qualité détectés tardivement et donc résolus tardivement après leur genèse,

·       des produits susceptibles de n’être jamais vendus aux clients (puisque non commandés au moment de leur production),

·       une flexibilité réduite vis-à-vis du client (en allongeant le Lead Time et donc la capacité de l’entreprise à s’adapter aux évolutions de la demande client).

Conscient de ces travers, Toyota a ainsi développé la technique SMED pour réduire les tailles de lot avec la finalité de fluidifier le flux de production.

Pour ce faire, il fallait trouver le moyen de réduire drastiquement les temps de changement de série qui contribuent directement au dimensionnement des tailles de lot.

Quantité économique = √ (2 x D x Ccs / Cp x Tps)

D = Débit de pièces par unité de temps

Ccs = Coût d’un changement de série

Cp = Coût d’une pièce

Tps = Taux de possession des stocks par unité de temps

Ainsi, l’application de la formule de Wilson indique qu’une réduction d’un facteur 2 du coût d’un changement de série permet de réduire d’un facteur √2 la taille de lot.

En visant un temps de changement de série idéal strictement inférieur à 10 minutes, S. Shingo avait l’objectif que pour une opération de production de 1h30 (90 minutes), le changement de fabrication représenterait ainsi 9 minutes ou moins (également appelée « règle du un pour dix » : les temps alloués au changement de série ne doivent pas dépasser 10% du temps de disponibilité des machines).

La mise en œuvre du SMED permet également de lisser la charge, en volume et mix produits, ce qui rend la production plus flexible aux évolutions de la demande client avec des niveaux de stocks intermédiaires de chaque référence plus faibles.

Par exemple, imaginons une usine ouverte 8h par jour et fabricant sur une seule machine 2 produits A et B avec un temps de cycle de 12s, une demande client de 500 unités de chaque produit et un temps de changement de série de 2h20.

L’organisation de la journée de travail est alors la suivante :

Si le temps de changement de série était divisé par deux, la production pourrait être lissé de telle manière que dès la mi-journée la moitié de la production journalière des 2 produits pourrait être mise à disposition du client avec l’organisation suivante :

Ainsi la finalité du SMED n’est pas de récupérer du temps improductif pour produire plus mais bien de fluidifier le flux de production en réduisant les tailles de lot et en nivelant la production en volume et mix produits. Il est, cependant, vrai que lorsque le SMED s’adresse à un goulot de production (voir théorie des contraintes), il pourra également être mis à profit pour gagner en capacité.

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Les plans d'expérience (ou DOE - design of experiments en anglais) sont une méthode d’optimisation de la démarche expérimentale, vulgarisée dans le domaine industriel par le qualiticien japonais Génichi TAGUCHI, à partir des années 1960. Leur mise en œuvre est adaptée à l’optimisation du réglage des paramètres de multiples facteurs X contrôlés ayant une influence sur la qualité d’un produit (c’est le critère Y à minimiser, maximiser ou à cibler) tout en réduisant l’influence des facteurs non contrôlés (le bruit), difficiles ou trop coûteux à contrôler. Plutôt que d’éliminer ces facteurs bruits, il s’agit de trouver la combinaison des facteurs contrôlés rendant le produit « insensible » à ceux-ci.

Dans une démarche 6 sigma, les plans d’expérience sont généralement mis en œuvre dans la phase « Improve » de la méthode DMAIC, c'est-à-dire lorsque l’on vise à déterminer la meilleure relation liant les X aux Y afin d’atteindre la qualité désirée (en réduisant la variabilité associée au processus de production).

Les plans d’expériences interviennent plutôt dans la phase de conception ou d’industrialisation d’un produit alors que la maîtrise statistique des procédés est plus pertinente en phase de production afin de contrôler et piloter la stabilité du processus de production.

Les plans d’expérience permettent de quantifier l’influence des facteurs X et de leurs interactions ainsi que d’identifier la meilleure combinaison de ceux-ci afin d’améliorer ou d’atteindre un niveau de qualité, tout en minimisant le nombre d’expérimentations à réaliser par une suite d’essais rigoureusement organisés.

Cela revient à rechercher les coefficients α_i du polynôme suivant modélisant Y en fonction des X :

Y = α₀ + α₁ facteur X1 + α₂ facteur X2 + α₃ Interaction (facteur X1, facteur X2) + ….

La représentation graphique de cette fonction s’appelle la surface de réponse que l’on souhaite optimiser.

Une analyse de la variance (ANOVA) permet alors de conclure quant à la significativité de l’effet des facteurs et des interactions (avec un risque de première espèce de 5% d’affirmer que le facteur n’a pas d’influence alors qu’il en a effectivement une).

Pour bâtir un plan d’expérience, on retient pour chaque facteur un nombre fini de niveaux ayant une influence sur la qualité du produit, faisant ainsi l'hypothèse d'une linéarité de la réponse entre les niveaux. L’ensemble des combinaisons de niveaux de tous les facteurs conduirait à réaliser un nombre très élevé d’expériences (en tenant compte de la combinaison des facteurs), à répéter plusieurs fois pour accumuler des résultats statistiques, afin de tester leur influence sur le produit.

La force de la méthode TAGUCHI est :

-          de limiter très fortement le nombre d’essais à réaliser en employant un plan factoriel pour lequel chaque niveau de chaque facteur est confronté à tous les niveaux des autres facteurs et dans des proportions égales (le plan est dit orthogonal),

-          d’évaluer l’influence des facteurs non contrôlés (le bruit) sur l’effet des facteurs contrôlés.

Exemple : Avec 7 facteurs à 2 niveaux, il y a à 2⁷ soit 128 combinaisons de facteurs alors que la matrice de Tagushi L₈ (2⁷) identifie 8 essais à réaliser !

Le plan d’expérience correspond donc aux essais à réaliser par combinaison de niveaux de facteurs : le plan est dit « complet » lorsqu’il intègre toutes les combinaisons de facteurs (dont les interactions entre facteurs) et « fractionnaire » lorsqu’il est restreint aux seuls facteurs sans tenir compte des interactions.  

Chaque essai est répété plusieurs fois afin d’identifier la dispersion (bruit) autour du résultat de l’essai par rapport au critère mesuré, conséquence de l’influence des facteurs non contrôlés. On détermine alors pour chaque essai i, la moyenne Yi des effets et le rapport signal/bruit en dB (en fonction de la moyenne arithmétique des mesures et de leur dispersion) selon les formules développées par TAGUCHI.

Cas d’un critère à minimiser

S/N_i = - 10 * Log ([Σ y_i²]/k) = -10 Log (σ²+Y²)

avec Y et σ, moyenne et écart-type des k répétitions de l’essai i

Cas d’un critère à maximiser

S/N_i = - 10 * Log ([Σ 1/y_i²]/k) = -10 * Log ((1 + 3 σ²/Y²)/Y²)

avec Y et σ, moyenne et écart-type des k répétitions de l’essai i

Cas d’un critère à la valeur nominale (écart-type proportionnel à la position)

S/N_i =  10 log (Y²/σ²)

avec Y et σ, moyenne et écart-type des k répétitions de l’essai i

Cas d’un critère à la valeur nominale (écart-type indépendant de la position)

S/N_i =  -10 log (σ² +  (Y – Cible)²)

avec Y et σ, moyenne et écart-type des k répétitions de l’essai i

En faisant l’hypothèse que les effets moyens s’additionnent, on détermine ensuite la meilleure combinaison des facteurs comme étant celle pour laquelle leur effet va dans le sens de l’optimisation recherchée tout en maximisant le ratio signal/bruit.

Une fois les paramètres déterminés, on réalise un essai de validation des résultats obtenus. Afin de tester l'hypothèse de linéarité du modèle, on réalise cet essai de validation au centre du domaine d'étude (pour chaque facteur, on choisit le point médian entre les valeurs min et max). Si cet esssai est concluant (Y doit prendre la valeur moyenne de tous les essais, appelée T ci-dessous), on a alors trouvé la combinaison de facteur X répondant à l'objectif de qualité Y. Il ne reste plus qu'à l l'industrialiser.

Nombre minimal d'essais à réaliser

Le nombre minimal d'essais à réaliser pour étudier un système donné (plusieurs facteurs et interactions à des niveaux différents pour chaque facteur) est égal au nombre de degrés de libertés du système. Par exemple, pour l'étude du système suivant :

Y =  α₀ + α₁ A (2 niveaux) + α₂ B (3 niveaux) + α₃ C (3 niveaux) + α₄ AC

ddl =1 + 1                         + 2                        + 2                          + 1 x 2 = 8

Il faudra effectuer au minimum 8 essais pour déterminer les coefficients α_i.

La condition d'orthogonalité peut, cependant, conduire à un nombre d'essais supérieur au nombre de degrés de liberté. Cette condition d'orthogonalité indique en effet que le plan devra comporter un nombre d'essais multiple du PPCM du produit du nombre de niveaux de toutes les actions disjointes. 

Dans cet exemple, le nombre minimal d'essais à réaliser pour respecter la condition d'orthogonalité est 2x3x3 soit 18 essais.

On comprend donc que pour minimiser le nombre d'essais il faut éviter de prendre des nombres de niveaux premiers entre eux et n'étudier des interactions disjointes que lorsque cela est indispensable.

Les tables de TAGUCHI

Elles se présentent sous forme de matrices L_n(N^k) présentant la configuration des essais à réaliser : en ligne les n essais à réaliser, en colonne les k facteurs ou combinaisons de facteurs avec en intersection les niveaux 1 à N à prendre en compte.

Pour un plan complet à f facteurs à 2 niveaux, la table à utiliser est la table L_n(2^k) telle que n = 2^f  . Cette même table peut être utilisée comme plan fractionnaire pour étudier k facteurs sans interaction : chaque colonne est alors affectée à 1 facteur, étant entendu que certains facteurs sont confondus avec certaines interactions entre facteurs, considérées alors comme négligeables.

Les tables de TAGUCHI sont des plans fractionnaires astucieux qui prennent pour hypothèse que les interactions d'ordre 3 (1 facteur x 1 intéraction d'ordre entre 2 facteurs ou 1 intéraction à 3 facteurs) sont négligeables et que seules quelques interactions d'ordre 2 sont non nulles. 

Elles sont accompagnées :

• d'un triangle des interactions, indiquant les numéros de colonne correspondant aux interactions entre 2 facteurs, et,
• d'un ou plusieurs graphes des effets, permettant de visualiser les différentes possibilités de mise en oeuvre de la matrice en fonction des interactions à étudier. Ces graphes indiquent également quelles colonnes doivent être affectées aux facteurs les plus difficiles à modifier au cours des expérimentations. 

 Les 18 tables orthogonales de TAGUCHI, classées en fonction de la possibilité ou non d’étudier des interactions, sont répertoriées ici :

Détaillons, par exemple, la table L₄(2³).

(en intersection de chaque ligne/colonne, on note le niveau 1 ou 2 à adopter pour chaque facteur dans le cadre de l'essai considéré)

-accompagnée du triangle des interactions :

-et du graphe des effets :  

Cette table est utilisée :

-          Soit pour un plan complet à 2 facteurs A et B (facteur A en colonne 1, facteur B en colonne 2 et intéraction A/B en colonne 3)

-          Soit pour un plan fractionnaire à 3 facteurs A,B,C sans tenir compte d’interactions ou plus exactement avec l’éventuelle interaction AB cumulée avec l’effet du facteur C (en colonne 3). On dit que les deux actions sont des alias. La résolution du plan fractionnaire est d’ordre III (1 facteur au moins confondu avec une interaction d’ordre II)

Si cette interaction ne peut pas être négligée, il faudra étudier séparément cette interaction et le facteur C ; pour ce faire, il faudra utiliser un plan complet à 3 facteurs L₈ : on dit que l’on « désaliasse » le plan fractionnaire. L’utilisation d’un plan fractionnaire peut conduire à de lourdes erreurs si on néglige des interactions significatives.

On cherche à optimiser la surface de réponse du polynôme suivant :

Y = α₀ + α₁ A + α₂ B + α₃ A x B (2 facteurs + 1 interaction)

Ou

Y = α₀ + α₁ A + α₂ B + α₃ C (3 facteurs – interactions nulles)

Afin de pouvoir comparer les α_i, , on utilise une unité standard, appelée notation de Yates, pour tous les facteurs de -1 (niveau mini) à +1 (niveau maxi).

Les résultats des 4 essais, prescrits par la table et répétés n fois, sont consignés dans le tableau suivant :

(exemple: 2 facteurs A et B + 1 interaction A/B - critère Y à minimiser) : 

On note :

-          X_i la moyenne des résultats lorsque le facteur X est de niveau i, et,

-           T la moyenne des résultats de tous les essais de la matrice de Tagushi (moyenne du plan) = (Y₁₁ + Y₁₂ +Y₂₁+Y₂₂) / 4

On montre que :

-          Effet (X_i) = X_i – T → par exemple : Effet (A1) = (Y₁₁+Y₁₂)/2 - T.

On note que ∑ Effet (X_i) = 0. On dit que le facteur Xi a (N-1) degrés de libertés, c'est à dire qu'il suffit de calculer (N-1) effets pour connaître tous les effets du facteur X.

-          Effet (Interaction XiYj) = X_iY_j– Effet (Xi) – Effet (Yj) – T → par exemple : Effet (A1;B2) = Y₁₂  - Effet(A1) - Effet(A2) - T

On note que ∑ Effet (X_iY_j) à i fixé = 0. L'intéraction X_iY_j comporte (N-1) x (N'-1) degrés de libertés.

alors :  α₀ = T ; α_i = Effet (X₂ ou Interaction X₂Y₂)

Les effets doivent être calculés sur les valeurs brutes Y et sur les valeurs signal/bruit S/N(Y) car les facteurs peuvent avoir une influence ou non sur les unes et/ou les autres. Le calcul des α_i  permet d'établir les graphes des facteurs et les graphes des interactions, représentant la dépendance supposée linéaire de chaque effet/facteur sur la plage normalisée [-1;1]. 

La significativité des effets peut être établie grâce à une analyse de la variance ou ANOVA (effet significatif si F > F_limite):

On détermine alors la meilleure combinaison des facteurs A (-1 ou +1) et B (-1 ou +1) comme étant celle pour laquelle leur effet va dans le sens de minimiser l'équation Y = α₀ + α₁ A + α₂ B + α₃